Peluang

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan. Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.

B.     RUMUSAN MASALAH

1.      Bagaimana faktorial dalam matematika?

2.      Bagaimana permutasi dan teorema dalam matematika?

BAB II

PEMBAHASAN

A.    FAKTORIAL

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial.

Sehingga kita dapat menarik kesimpulan bahwa:

Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) didefinisikan dengan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x .... x 3 x 2 x 1

Dari definisi itu, maka kita juga memeroleh

n! = n(n-1)!

Nilai dari 1! = !. Oleh karena itu, untuk n=1, diperoleh

1! = 1(1-1)

1        = 0!

Jadi untuk 0! bernilai 1

0! = 1

Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

 0!  =         1

 1!  =         1

 2!  =         2

 3!  =         6

 4!  =        24

 5!  =       120

 6!  =       720

 7!  =      5040

 8!  =     40320

 9!  =    362880

 10! =   3628800

 11! =  39916800

 12! = 479001600

Contoh:

Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?

Jawab:

Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah 4!.

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagai berikut.

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

B.     PERMUTASI  DAN TEOREMA

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau

.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh permutasi

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?

Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

1.      Permutasi dengan Semua Unsur Berbeda

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur, yang diambil dari n unsur atau sebagian unsur.

Teorema :

Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah P(n,n) = n!

P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n unsur

P(n,n) = n!

Bukti :

Misalkan diketahui n buah unsur akan disusun dalam n tempat yang tidak melingkar.

Tempat pertama diisi dengan n cara karena ada n unsur. Tempat kedua diisi dengan (n-1) cara karena sebuah unsur telah diisikan pada tempat pertama, tempat ketiga diisi dengan (n-2) cara dan seterusnya sampai tempat ke (n-1) diisi dengan 2 cara dan tempat ke-n (terakhir) diisi dengan 1 car. Secara keseluruhan banyak cara unttuk membuat susunan (permutasi) yang berbeda adalah :

n (n-1) (n-2) (n-3) . . . 3 . 2 . 1 = n!

2.      Permutasi dengan Sebagian Unsur yang Berbeda

Permutasi P(n, n) seperti contoh di atas menunjukkan bahwa dari n unsur yang tersedia diambil seluruhnya untuk disusun. Dari n unsur dapat pula dibuat susunan yang hanya berunsur r untuk r < n dengan memperhatikan urutannya.

Kita dapat menulis tiga anggota himpunan { a, b, c, d} menjadi 24 urutan seperti berikut ini.

abc      bac       cab     dab

abd     bad      cad      dac

acb      bca       cba     dba

acd     bad      cbd      dbc

adb     bda      cda      dcb

adc     bdc      cdb      dca

Setiap urutan atau susunan dari huruf tersebut disebut permutasi himpunan {a, b, c, d}

Permutasi adalah sembarang susunan dari elemen-elemen suatu himpunan berdasarkan urutan,

Banyaknya permutasi di atas diperoleh dari pengisian tempat 4 x 3 x 2

Teorema :

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah P(n,r)  untuk r < n.

P(n,r) dibaca permutasi tingkat r dari n

3.      Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Misalkan terdapat 7 bendera, terdiri 4 bendera berwarna selain putih dan 3 bendera putih. Bendera-bendera tersebut akan dipasang di salah satu sisi gerbang suatu kantor. Meskipun terdapat 7 bendera, dua atau lebih bendera di antaranya berwarna sama, tetapi tidak dapat membedakan posisi yang satu dengan posisi yang lain. Kita mengetahui bahwa bendera-bendera tersebut dapat disusun ddengan cara permutasi yaitu 7!, namun dengan adanya beberapa bendera berwarna sama, kita tidak dapat membedakan permutasi tersebut secara utuh.

Di bawah ini akan dibahas cara mencari banyak permutasi dengan beberapa elemen yang sama.

Jika kumpulan huruf { a, b, c, d} dipermutasikan 4 unsur, maka banyaknya permutasi tersebut adalah  = 24. Hasil permutassi tersebut adalah

abcd     bacd      cabd      dabc

abdc     badc      cadb      dacb

acbd     bcad      cbad      dbac

acdb     bcda      acda      dbca

adbc     bdac      cdab      dcab

adcb     bdca      cdba      dcba

apabila huruf a = b = p dan huruf c = d = q, maka kumpulan hurufny adalah { p, p, q, q}. Hasil permutasi dari keempat huruf tersebut dengan banyaknya huruf p ada 2 dan banyaknya huruf q ada 2 adalah ppqq, pqpq, qpqp, qqpp, qppq yaitu ada 6 macam permutasi. Sehingga, dari unsur { p, p, q, q} ialah 24, dari unsur {p, p} ialah 2, dan dari unsur {q, q} ialah 2

Secara umum dapat dirumuskan permutasi dengan unsur-unsur yang sama adalah sebagai berikut :

Jika terdapat n obyek dengan  merupakan jenis pertama,  merupakan jenis kedua,… dan  merupakan jenis ke-k ; dengan adanya n obyek maka terdapat n! Permutasi. Apabila P dalah banyak permutasi yang berbeda, jenis pertama mempunyai , jenis kedua mempunyai ! Dan seterusnya.

4.      Permutasi Siklis (Permutasi Melingkar)

Misalkan kita akan menyusun 4 huruf A, B, C, dan D secara melingkar, dengan catatan bahwa ABCD, BCAD, CDAB, dan DABC tidak dibedakan, jadi dalam hal ini sebuah huruf akan selalu menempati jalan lingkaran tersebut. Dengan kaidah pencacahan, kita dapat menyajikan seperti berikut :

1 x 3 x 2 x 1 = 3! Atau (4-1)!

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek adalah (n-1)!

5.      Kombinasi

Jika kita memiliki sekumpulan data S = {a, b, c} dipermutasikan dua –dua dari tiga unsur yaitu P(3, 2) maka susunan peermutasinya ada 6 sebagai berikut :

ab, ac, bc, ba, ca, cb dengan asumsi bahwa ab ≠ ba, ac ≠ ca, dan bc ≠ cb

misalnya a = 1, b = 2, c = 3, berarti bilangan puluhan yang dapat disusun dari kumpulan angka {1, 2, 3} adalah 12, 13, 23, 21, 31, 32

Namun masalahnya akan sangat berbeda jika seandainya a = Ali, b = Bahrun, c = Chalid, artinnya sekumpulan data S = {a, b, c} merupakan kumpulan nama-nama orang. Permutasi dua-dua dari tiga unsur tersebut yaitu ab, ac, bd dimana ab = ba, ac = ca, bc = cb.

Perbedaan banyaknya permutasi di atas hanya masalah “dengan “ atau tanpa memperhatikan susunannya

Jadi,

§  Permutasi dua-dua dari tiga unsur {a, b, c} “dengan memperhatikan urutannya” adalah b, c, bc, ba, ca, dan cb

§  Permutasi dua-dua dari tiga unsur {a, b, c} “tanpa memperhatikan urutannya” adalah ab, ac, dan bc

Suatu permutasi “tanpa memperhatikan urutan unsur yang terpilih” disebut Kombinasi. Pada contoh kasus di atas yaitu permutasi 2 unsur dari 3 unsur yag diketahui tanpa memperhatikan urutannya ditulis dengan simbol C(3,2)

Jadi, banyaknya kombinasi 2 unsur dari 3 unsur adalah C(3,2) = 3

Secara umum kombinasi r unsur dari n unsur yang diketahu dimana r ≤ n adalah : C(n.\, r)

 

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan. Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.

B.     Saran

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Maka penulis mohon kritik dan saran guna perbaikan untuk masa yang akan datang.

DAFTAR PUSTAKA

https://nurfitriyanaulfamath.wordpress.com/2014/01/05/peluang-notasi-faktorial-permutasi-kombinasi/

http://afiesmm.blogspot.com/2012/11/kombinasi-dan-permutasi.html

https://jhonifunk.wordpress.com/pelajaran/matematika/rumus-peluangpermutasi-kombinasi-matematika/

Share :