Persamaan dan pertidaksamaan linear

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari – hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari – hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika. Akan tetapi kebanyakan orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya tersebut merupakan bagian dari matematika. Kegiatan – kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupaka bagian dari cabang ilmu matematika yang paling dasar.

Dalam kehidupan kita sehari –hari sangat diperlukannya pemahaman tentang sistem persamaaan linier satu variable . seperti contoh : tersedia sebuah neraca, sebelah kanan neraca terdapat kantung dan 3 buah bola sedangkan  pada sebelah kiri terdapat 12 bola, dalam konteks ini bagaimana kita dapat mngetahui berapa bnyak bola yang ada di dalam kantong tersebut tanpa kita membukanya. Inilah salah satu yang dapat mendorong kita mempelajari system persamaan linier satu variable .

B.     RUMUSAN MASALAH

1.      Bagaimana persamaan dan pertidaksamaan linear?

2.      Bagaimana system persamaan dan pertidaksamaan linear?

BAB II

PEMBASAHAN

A.    PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1.      Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak

Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah. Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.

Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di bawah ini.

Contoh soal:

Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah ke belakang.

Permasalahan:

1.      Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut?

2.      Tentukanlah berapa langkah posisi akhir anak tersebut dari posisi semula!

3.      Tentukanlah berapa langkah yang dijalani anak tersebut!

Alternatif Penyelesaian

Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengandemikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.

Perhatikan sketsa berikut:

Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif), anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5.

Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya.Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan dengan harga mutlak negative 3 (|-3|). Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah|2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9(9 langkah).

Tabel 1.1 nilai mutlak

Nilai non negatif	Nilai mutlak	Nilai negatif	Nilai Mutlak
0	0	-2	2
2	2	-3	3
3	3	-4	4
5	5	-5	5

Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti semuabilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut?Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x  R.

Misalkan x bilangan real, didefinisikan |x| =

2.      Persamaan Linier

Contoh soal:

Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan sekolah. Pada hari Minggu dia menghabiskan  dari uang yang dimilikinya. Pada hari Senin, dia membelanjakan uangnya Rp 4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dia belanjakan hari Minggu.Sementara uang yang dibelanjakan pada hari Selasa hanya  dari belanjaan hari Senin. Sekarang dia masih memilikiuang sisa belanjaan sebanyak Rp1.000,00.Dapatkah kamu membuat model dari kasus permasalahan tersebut? Buatlah model tersebut, apakah kamu dapat menentukan uang Andi sebelum dibelanjakan?

Diketahui:

Belanja hari Minggu =× j u m lah uangnya.

Belanja hari Senin = Rp4.000,00 lebih sedikit dari belanja hari Minggu.

Belanja hari Selasa =× belanja hari Senin.

Ditanya:

•         Buatlah model matematika dari permasalahan di atas.

•         Tentukan berapa uang Andi sebelum dibelanjakan.

Alternatif Penyelesaian

Marilah kita bersama-sama menyelesaikan permasalahan ini.

Misal banyak uang Andi =

Dari yang diketahui diperoleh

Belanja hari Minggu =

Belanja hari Senin =

Belanja hari Selasa =

Kita buat sebuah persamaan dari kasus ini, yaitu:

Uang Andi = jumlah uang yang dibelanjakan + sisa uang

sehingga penyelesaian permasalahan ini, adalah:

                        x=

                        =                         (di kali kedua ruas dengan 6)

                        6x = 3x + 3x – 24.000 + x – 8.000 + 6.000

                        = 7x – 26.000

                        x          = 26.000

Dengan demikian uang Andi mula-mula adalah Rp26.000,00.

3.      Pertidaksamaan Linier

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian,dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas angkutan umum. Perhatikan contoh soal berikut!

Contoh soal:

Ayah Budi lebih muda dibanding pamannya tetapi lebih tua dari ibunya. Sementara umur bibinya hanya satu tahun lebih tua dari umur ibunya tetapi satu tahun lebih muda dari umur ayahnya. Budi berencana mengurutkan umur antara ayah, ibu, paman, dan bibinya berdasarkan umur mereka yang lebih tua. Dapatkah kamu membantu Budi dalam mengatasi permasalahan tersebut?

Pertama sekali didefinisikan variabel-variabelnya sebagai berikut:

Umur ayah = A      Umur ibu = I

Umur paman = P   Umur bibi = B

Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.

a.       Ayah lebih muda dibanding paman

A < P

b.      Ayah lebih tua dari ibu

A > I atau I < A

c.       Umur bibi hanya satu tahun lebih tua dari umur ibu

B + 1 = I atau B > I

d.      Umur bibi satu tahun lebih muda dari ayah

B – 1 = A atau B < A

Dengan mengamati pola di atas, yaitu A < P, I < A, I < B, dan B < A.

Urutan umur mereka mulai dari tertua ke termuda adalah P > A > B > I.

Sehingga kesimpulan adalah paman lebih tua dibanding ayah, ayah lebih tua dibanding bibi, dan bibi lebih tua dibanding ibu.

4.      Persamaan Linear yang melibatkan Nilai Mutlak

Contoh soal:

Sungai Bengawan Solo sering meluappada musim hujan dan kering dimusim kemarau. Jika debit air sungai tersebutadalah p liter/detik pada cuaca normal. Perubahan debit pada cuaca tidak normal adalah sebesar q liter/detik. Tunjukkanlah sketsa penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut!

Alternatif Penyelesaian

Telah kamu ketahui bahwa penyimpangan dari suatu nilai tertentu dapat dinyatakan dengan harga mutlak.

Misalkan debit air sungai = x

Simpangan x terhadap nilai pada cuaca normal = |x – p|. Karena perubahan debit airtersebut bernilai q maka |x – p| = q. Sehingga diperoleh x = p + q atau x = p – q.Dari sketsa di atas, tampak jelas bahwa penurunan minimum debit air adalah (p – q)liter/detikdan peningkatan maksimum debit air adalah (p + q) liter/detik.

5.      Pertidaksamaan Linear yang melibatkan Nilai Mutlak

Selanjutnya kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke pertidaksamaan linier, dengan memahami dan meneliti kasus-kasus berikut.

Masalah

Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah SakitIbu dan Anak dengan berat badan 2.200 gram. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil, maka harus diinkubator selama beberapa hari. Suhu incubator harus dipertahankan berkisar antara 32^OC hingga 35^OCselama 2 hari. Ternyata jika berat badan berada pada interval BB: 2.100–2.500 gram, maka suhu incubator yang harus dipertahankan adalah 34^OC. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0.2^OC maka hitunglah interval perubahan suhu inkubator!

Alternatif Penyelesaian

Pada kasus bayi ini, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harusdipertahankan selama 1–2 hari semenjak kelahiran adalah 34°C. Misalkan T adalahsegala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruangan,dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0.2°C, maka nilai mutlak suhu tersebutdapat kita modelkan, sebagai berikut:

Kasus ini dapat kita selesaikan melalui cara berikut.

Cara (Secara Aljabar)

Dengan mengingat bahwa  maka:

 (kuadratkan)

                                                     

 

 

 

Nilai pembuat nol adalah T = 34,2OC atau T = 33,8OC

33,8°C 34,2°C

B.     SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari saat duduk di kelas VIII SMP. Pada saat ini kita perdalam kajian, pemahaman dan jangkauan pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah miliki sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini, kamu berupaya menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, berdiskusi dengan teman, mengajukan pertanyaan kepada guru dan teman kelompok. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahanpermasalahan tersebut kita jadikan bahan inspirasi dan menyusun model-model Matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, kita jadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Cermatilah masalah berikut!

Anto bermain kartu bergambar bersama temannya. Ketika mereka selesai bermain, Budi, adiknya Anto mengumpulkan kartu-kartu tersebut. Kemudian Ia asyik membangun rumah bertingkat yang diberi nama Rumah Kartu. Susunan kartu untuk setiap tingkatnya dapat dicermati pada gambar berikut.

Setelah Budi menyusun beberapa rumah kartu bertingkat, ia bertanya dalam pikirannya, bagaimana hubungan di antara banyak kartu dan banyak tingkat rumah. Berapa banyak kartu yang dibutuhkan untuk membangun rumah kartu 30 tingkat? Dapatkah kamu membantu Budi untuk menyelesaikan masalah tersebut?

Penyelesaian:
Berdasarkan Gambar 3.2 di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.

Rumah kartu bertingkat 1 mengunakan kartu sebanyak 2 buah.

Rumah kartu bertingkat 2 mengunakan kartu sebanyak 7 buah.

Rumah kartu bertingkat 3 mengunakan kartu sebanyak 15 buah.

Sehingga banyak tingkat dan banyak kartu dapat dikorespondensikan satu-satu membentuk suatu relasi sama dengan atau banyak kartu dapat dinyatakan dalam banyak tingkat rumah.Rumah kartu bertingkat 4 mengunakan kartu sebanyak 26 buah.

Temukan aturan yang memasangkan banyak tingkat (t) dengan banyak kartu (k).

Cermati pola, bahwa bilangan 1, 4, 9, 16 adalah kuadrat dari bilangan 1, 2, 3, 4 dan bilangan 1, 2, 3, 4 adalah banyaknya tingkat rumah. Apakah bilangan 0, 1, 3, dan 6 dapat dinyatakan dalam t2 dan t? Misal x dan y adalah bilangan yang akan ditentukan sekaitkan dengan banyak kartu dan banyak tingkat rumah yang dinyatakan dalam persamaan berikut.

k = x t^2 + y t …………………………………………. (Persamaan-a)

Cermati kembali Gambar 3.2! Untuk mendapatkan model matematika berupa dua persamaan linear dengan variabel x dan y yang saling terkait.

Untuk t = 1 dan k = 2 diperoleh persamaan x + y = 2

Untuk t = 2 dan k = 7 diperoleh persamaan 4x + 2y = 7

Dengan demikian kita peroleh dua buah persamaan linear dua variabel, yaitu
x + y = 2…………………………………………………..( Persamaan-1)

4x + 2y = 7 ………………………………………………(Persamaan-2)

Diperoleh himpunan penyelesaian adalah 

·         Evaluasi hasil yang diperoleh, apakah hasil yang diperoleh adalah solusi terbaik

Dapat disimpulkan, aturan pengkaitan banyak tingkat dengan banyak kartu yang digunakan untuk membangun rumah kartu adalah dengan nilai konstanta x dan y adalah dan .

·         Tentukan banyak kartu yang digunakan membuat rumah kartu dengan 30 tingkat.

Untuk t=30, diperoleh

Jadi, banyak kartu yang dibutuhkan untuk membangun rumah kartu bertingkat 30 adalah 1365 buah kartu.

BAB III

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah. Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.

Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya.

B.     SARAN

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Maka penulis mohon kritik dan saran guna perbaikan untuk masa yang akan datang. Penulis berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Drs. Suwito (2002). Rumus Matematika SMP, Gitamedia Pess Surabaya

Russell Bertrand.1970. Matematiaka untuk SMA1, 2, 3. Jakarta

Drs. Harsono dan Drs. Agus Wardono. Matematika SMA, Graha Pustaka Jakarta                  

Sinaga, Bornok, dkk. 2013. Matematika untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif.

Share :