Probabilitas

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Dalam kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan “pasti” apa yang akan terjadi pada waktu yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Sebuah contoh sederhana adalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit untuk memastikan bahwa muka gambar atau muka angka yang berada di atas. Jika terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk memprediksikan apakah tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkait dengan suatu ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau gagal dan lain sebagainya. Semua peristiwa tersebut berada dalam “ketidakpastian” atau Uncertainty. Dengan demikian, probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random.

B.     Rumusan Masalah

1.      Bagaimana pengertian kejadian dan ruang sampel?

2.      Apakah permutasi dan kombinasi?

3.      Apakah peluas bebas dan peluang bersyarat?

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Probabilitas

Istilah peluang  tak lepas dari adanya suatu peristiwa sebelumnya atau adanya suatu percobaan. Seperti pernyataan-pernyataan berikut:

‘’Saya punya peluang setengahnya mendapatkan bilangan ganjil dalam lantunan sebuah dadu”

“Garry Kasparov mungkin memenangkan catur melawan Anatoly Karpov”

Dari dua pernyataan tersebut semua hasilnya masih diragukan, tetapi menurut pola percobaan atau pengalaman sebelumnya, kita mempunyai derajat keyakinan mengenai kebenaran dua pernyataan tersebut. Dalam pembahasan teori peluang untuk siswa SMP atau SMA ini , istilah peluang dapat diartikan kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan terhingga.

Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil dari suatu percobaan dinilai dengan menggunakan sekumpulan bilangan real  dari  0 sampai dengan 1. Untuk kejadian yang kecil sekali kemungkinannya terjadi atau tidak mungkin terjadi diberi nilai 0 atau peluangnya nol,  sedangkan untuk kejadian yang  kemungkinannya besar terjadi diberi nilai 1 atau peluangnya 1. Peluang suatu kejadian bernilai 0 disebut suatu kemustahilan, sedangkan peluang suatu kejadian bernilai 1 disebut suatu kepastian.

Contoh 1

Percobaan : Melempar  dadu bersisi enam

Hasil yang mungkin : muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6

Contoh 2

Percobaan : Melempar sebuah mata uang logam

Hasil yang mungkin : muncul Gambar atau  Angka

Dari Contoh 1 , pada percobaan melempar dadu bersisi enam mata dadu 1, atau 2,  atau 3, atau 4, atau 5, atau 6  disebut  titik sampel.

Kumpulan semua titik sampel  disebut Ruang Sampel (S) atau semua hasil yang mungkin.

Jika  A adalah himpunan bagian dari  Ruang Sampel (S) , maka A  disebut  Kejadian atau disebut juga hasil yang dimaksud (diharapkan).

Untuk setiap titik sampel  pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu peluang sedemikian rupa sehingga jumlah  semua bobotnya sama dengan 1. Untuk menentukan peluang  suatu kejadian  A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan.

Jumlah  ini dinamakan peluang  A  ditulis  P(A) .

Dengan demikian kisaran nilai peluang  kejadian A  atau  P(A) mulai dari  0  s.d. 1  atau    0  ≤ P(A)  ≤  1.

B.     Permutasi Dan Kombinasi

Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan faktorial.

Prinsip Dasar Membilang :

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara, kejadian kedua dalam n₂ cara, demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam n_k cara, maka keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam : n₁ x n₂ x …x n_k cara

Contoh :

Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika Jakarta – Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya – Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya?

Penyelesaian :

misalkan : dari Jakarta ke Surabaya (n₁) = 3 cara.

Dari Surabaya ke Ujungpandang (n₂) = 2 cara.

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah :

n₁ x n₂ = 3 x 2 = 6 cara

Faktorial :

Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan: “!”.

Jika : n = 1,2, …., maka :

n! = n(n – 1)(n – 2) ….x 2 x 1 = n(n –1)!

Contoh :

Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut

1.      5!

2.      3! X 2!

3.      6!/4!

Penyelesaian :

1.      5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2.      3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12

a.       Permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

Contoh :

Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.

Rumus-rumus Permutasi :

Permutasi  dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian  : mPm = m!

Contoh :

Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapat disusun.

Penyelesaian :

Buku-buku matematika dapat disusun dalam :

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.

Permutasi sebanyak x dari  m objek tanpa pengembalian :

Contoh :

Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?

Penyelesaian:

m = 4 dan x = 3

4P3 =

Permutasi dari m objek dengan pengembalian :

mPx = m^x

x ≤ m dan bilangan bulat positif

Contoh :

Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang terpilih!

Penyelesaian :

M = 3 dan x = 2

3P2 = 3² = 9

yaitu : AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB

Permutasi dari m objek yang sama :

m!

mPm₁, m_2, m₃, … = ———————–

m₁! . m₂! . m₃! ….

Dengan m₁ + m₂ + m₃ + ….= m

Contoh :

Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”

Penyelesaian :

M = 5, m₁ = 2, m₂ = 2, m₃ = 1

5!               5 x 4 x 3 x 2 x 1

5P2, 2, 1 = ————— =  ——————– = 30

2! . 2! . 1!         2 x 1 x 2 x 1 x 1

b.      Kombinasi :

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.

Contoh :

Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

Rumus-rumus Kombinasi :

Kombinasi x dari m objek yang berbeda :

m!

x³mCx = ————–     ; m 

(m – x)!.x!

Contoh :

Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?

Penyelesaian :

M = 5 dan x = 2

5!

5C2 = —————- = 10

– 2)! . 2!

C.    PELUANG BEBAS

Dua kejadian dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain.

Contoh

·         Ketika melempar koin dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak mempengaruhi hasil dari lemparan kedua.

·         Ketika mengambil dua kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), kejadian 'mendapatkan raja (K)' pada kartu pertama dan kejadian 'mendapatkan kartu hitam' pada kartu kedua adalah tidak saling bebas. Peluang pada kartu kedua berubah setelah kartu yang pertama diambil. Kedua kejadian di atas akan menjadi saling bebas jika setelah mengambil kartu yang pertama, kartu tersebut dikembalikan ke set semula (sehingga set kartu itu lengkap kembali, 52 kartu).

Untuk dua kejadian saling bebas, A dan B, peluang untuk keduanya terjadi, P(A dan B), adalah hasil perkalian antara peluang dari masing-masing kejadian.

P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Misalnya, ketika melempar koin dua kali, peluang mendapat 'kepala' (K) pada lemparan pertama lalu mendapat 'ekor' (E) pada lemparan kedua adalah

P(K dan E) = P(K) × P(E)

P(K dan E) = 0.5 × 0.5

P(K dan E) = 0.25

Dua kejadian dikatakan saling terpisah jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Contoh

·         Ketika melempar sekeping koin, kejadian 'mendapat kepala' dan kejadian 'mendapat ekor' adalah saling terpisah, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

·         Ketika melempar sebuah dadu bermata 6, kejadian 'mendapat 1' dan kejadian 'mendapat 4' adalah saling terpisah, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Tetapi kejadian 'mendapat 3' dan kejadian 'mendapat bilangan ganjil' adalah tidak saling terpisah, sebab keduanya bisa terjadi secara bersamaan. (yaitu ketika mendapatkan 3, yang juga berarti mendapat bilangan ganjil).

Untuk dua kejadian saling terpisah, A dan B, peluang salah satu terjadi, P(A atau B), adalah jumlah dari peluang masing-masing kejadian.

P(A or B) = P(A) + P(B)

Misalnya, ketika memilah bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah

P(Biru atau Merah) = P(Biru) + P(Merah)

P(Biru atau Merah) = ³/₁₀ + ⁵/₁₀

P(Biru atau Merah) = ⁸/₁₀ = 0.8

Untuk kejadian yang tidak saling terpisah peluang terjadinya salah satu atau keduanya adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

dimana P(A ∩ B) adalah peluang kejadianA dan kejadian B terjadi secara bersamaan. Misalnya, ketika mengambil kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), peluang mendapat kartu merah atau raja adalah

P(Merah atau Raja) = P(Merah) + P(Raja) - P(Merah ∩ Raja)

P(Merah atau Raja) = ²⁶/₅₂ + ⁴/₅₂ - ²/₅₂

P(Merah atau Raja) = ²⁸/₅₂ = ⁷/₁₃

Sebuah kartu bisa merah, raja, atau keduanya (yaitu raja merah). Jadi kita harus mengurangi peluang kartu itu adalah raja merah, karena peluang itu sudah termasuk ketika kita menghitung peluang untuk kartu merah dan peluang untuk kartu raja.

D.    Peluang Kejadian Bersyarat

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul. Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B. Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A telah muncul. Adapun peluang kejadian bersyarat dapat dirumuskan sebagai berikut:

a.    Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah P(A|B) = , dengan P(B) > 0 b.    Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah P(B|A) = , dengan P(A) > 0

 

            Contoh:

Misalkan ada dua dadu dilempar secara bersama-sama. Jika jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6, tentukan peluangnya bahwa salah satu dadu muncul angka 2.

Penyelesaian:

Misalkan A adalah kejadian jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6 dan B adalah kejadian salah satu dadu muncul angka 2. Maka, anggota-anggota A, B dan A  B adalah sebagai berikut:

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

A  B = {(2,4), (4,2)}

Sedangkan untuk ruang sampelnya yaitu S sebagai berikut:

Dadu 1            Dadu 2	1	2	3	4	5	6
1	1,1	2,1	3,1	4,1	5,1	6,1
2	1,2	2,2	3,2	4,2	5,2	6,2
3	1,3	2,3	3,3	4,3	5,3	6,3
4	1,4	2,4	3,4	4,4	5,4	6,4
5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
6	1,6	2,6	3,6	4,6	5,6	6,6

Jadi,     n(S) = 36

n(A) = 5

n(B) = 11

n(A∩B) = 2

P (A ∩ B) =

P(A) =

Berarti, P (B|A) =  =  =

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Istilah peluang  tak lepas dari adanya suatu peristiwa sebelumnya atau adanya suatu percobaan. Seperti pernyataan-pernyataan berikut:

‘’Saya punya peluang setengahnya mendapatkan bilangan ganjil dalam lantunan sebuah dadu”

“Garry Kasparov mungkin memenangkan catur melawan Anatoly Karpov”

Dari dua pernyataan tersebut semua hasilnya masih diragukan, tetapi menurut pola percobaan atau pengalaman sebelumnya, kita mempunyai derajat keyakinan mengenai kebenaran dua pernyataan tersebut. Dalam pembahasan teori peluang untuk siswa SMP atau SMA ini , istilah peluang dapat diartikan kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan terhingga.

B.     Saran

Saran yang dapat penulis sampaikan adalah gunakanlah probabilitas ini untuk keperluan yang baik dan bermanfaat bagi diri sendiri atau orang banyak. Jangan sekali-kali menjadi musyrik dengan pengetahuan tentang probabilitas ini. Semua yang akan terjadi atau yang telah terjadi yakinlah itu semua telahdirencanakan oleh Allah SWT.

DAFTAR PUSTAKA

Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

Mundiri, Drs. Logika. PT Rajagrafindo Persada. Jakarta, 1994.

Aditya. “Probabilitas”. 14 Maret 2015. http://adtyadjavanet.blogspot.com/2013/11/makalah-probabilitas.html

Anonime. “Peluang (Matematika)”. 14 Maret 2015. http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika).

Irwansyah, Budi. “Sejarah Probabilitas”.14 Maret 2015. https://badaiformula.wordpress.com/2010/12/03/sejarah-probabilitas/.

Share :